Equacions de Maxwell
 

Electromagnetisme

VFPt Solenoid correct2.svg

 

 

Circuit elèctric

Formulació covariant

Científics

 

Les equacions de Maxwell són un conjunt de quatre equacions que descriuen completament els fenòmens electromagnètics. La gran contribució de James Clerk Maxwell fou reunir en aquestes equacions molts anys de resultats experimentals i investigacions teòriques, deguts a Coulomb, Gauss, Amper, Faraday i altres, introduint els conceptes de camp i de corrent de desplaçament, i unificant els camps elèctrics i magnètics en un sol concepte: el camp

 electromagnètic

. De les equacions de Maxwell, a més, es desprèn l'existència d'ones electromagnètiques propagant-se amb velocitat c, el valor numèric de la qual coincideix amb el valor de la velocitat de la llum en el buit, amb la qual cosa Maxwell va identificar la llum amb una ona electromagnètica, unificant l'òptica amb l'electromagnetisme.

 

La formulació moderna de les equacions de Maxwell és deguda a Oliver Heaviside i Josiah Willard Gibbs, que en1884 reformularen les equacions originals de Maxwell en un sistema abreujat utilitzant notació vectorial. La formulació original de Maxwell datava de 1865 i contenia 20 equacions de 20 variables. La formulació vectorial resultava especialment atractiva perquè remarcava les simetries intrínseques en les equacions fent més fàcil la seva utilització.

Les equacions de Maxwell, en forma integral i diferencial són les següents (ambdues formes són totalment equivalents, es pot passar d'una a l'altra amb les eines habituals del càlcul diferencial).

 

Nom

Forma diferencial

Forma integral

Llei de Gauss

\nabla \cdot \vec{D} = \rho

\oint_S \vec{D} \cdot \vec{dS} = Q_{i}

Llei de Gauss per al magnetisme

\nabla \cdot \vec{B} = 0

\oint_S \vec{B} \cdot \vec{dS} = 0

Llei de Faraday:

\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}} {\partial t}

\oint_C \vec{E} \cdot \vec{dl} = -\int_{\partial C} \ {d\vec{B}\over dt} \cdot \vec{dS}

Llei d'Ampère-Maxwell:

\nabla \times \vec H = \vec{j} + \frac{\partial \vec D}{\partial t}

\oint_C \vec{H} \cdot \vec{dl} = \int_S \vec{j} \cdot \vec{dS} +
{d \over dt} \int_S \vec{D} \cdot \vec{dS}

§ Q és la càrrega elèctrica (unitat SI: coulomb).

§ ρ és la densitat de càrrega elèctrica (unitat SI: coulomb per metre cúbic), sense incloure càrregues dipolars lligades a un material.

§ \vec{B} és la inducció magnètica (unitat SI: tesla, volt × segon per metre quadrat) \vec{B} = \mu_0 \vec{H} .

§  \vec{D} és el desplaçament elèctric (unitat SI: coulomb per metre quadrat)\vec{D} = \varepsilon \vec{E} .

§  \vec{S} és l'àrea de la superficie gaussiana d'integració.

§  \vec{E} és el camp elèctric (unitat SI: volt per metre).

§  \vec{H} és el camp magnètic (unitat SI: ampere per metre).

§ \vec{j} és la densitat de corrent elèctric (unitat SI: ampere per metre quadrat)

§  \nabla \cdot és l'operador divergència (unitat del SI: 1 per metre)

§  \nabla \times és l'operador rotacional (unitat del SI: 1 per metre)

Encara que es donen les unitats del sistema internacional d'unitats per a les diversos magnituds, les equacions de Maxwell es mantenen en altres sistemes d'unitats.

 

 

Interpretació física de les equacions expressen, respectivament, com les càrregues elèctriques produeixen camps elèctrics (llei de Gauss), l'absència experimental decàrregues magnètiques (2a llei), com el corrent produeix camps magnètics (llei d'Ampère) i com els camps magnètics canviants produeixen camps elèctrics (llei de la inducció de Faraday).

La primera equació tensorial expressa les dues equacions de Maxwell inhomogènies: la llei de Gauss i la d'Ampère amb les correccions de Maxwell. La segona equació expressa les altres dues equacions homogènies: la llei de Faraday de la inducció i la llei de Gauss per al camp magnètic (l'absència de monopols magnètics).

S'ha suggerit que el component vXB de la Força de Lorentz es pot derivar de la llai de Coulomb i la relativitat especial si hom assumeix la invariància de la càrrega elèctrica.