Nombres complexos

Representen un punt del pla respecte a uns eixos de coordenades que es creuen perpendicularment en un punt (origen).

 

a   = Part real 
b   = Part imaginària

r   = Mòdul 
a   = Angle

 


 

Forma binòmica   (Rectangulars)

P = a + b · i

 

Forma polar   (Polars)

P =   r   |   a   

 


Pas de rectangulars a polars


Pas de polars a rectangulars

Coneguts aib:

Coneguts   r   i   a   :

[A] [R ®   P] [b] [=]   "Surt   r   "   [X «   I]   "Surt   a   "

r[   ] [P ®   R] a   ] [=]   "Surt a"   [X «   I]   "Surt b"

 

Operacions amb nombres complexos

La suma i la resta   es realitzen en forma binòmica:

[A + b · i] + [a '+ b' · i] = [(a + a ') + (b + b') · i]

Suma de parts reals + suma de parts imaginàries.

[A + b · i] - [a '+ b' · i] = [(a - a ') + (b - b') · i]

Resta de parts reals + Resta de parts imaginàries.

El producte i el quocient   es realitzen en forma polar:

r   |   a   ´   r   '   |   a   '   = r   ´   r   ')   |   a   + a   '

Producte de mòduls i suma de ángulos.

r   |   a   ¸   r   '   |   a   '   = r   ¸   r   ')   |   a   - a   '

Quocient de mòduls i resta de ángulos.

Exemple1:

Calcula: P = [2 + 6 · i] + ([4 +4 · i] x [6 - 2 · i]).

P = [2 + 6 · i] + ([5,657   | 45 º]   ´   [6,324   | -18,43 º]) = [2 + 6 · i] + ([35,77   | 26,57 º]) = [2 + 6 · i] + [32 + 16 · i] = [34 + 22 · i]

 

Exemple2:

Donats els nombres complexos: P 1   = 6 + 8 · i; P 2   = 9 - 3 · i; P 3   = 12 · i; P 4   = 20. Calcula:

a)   P 1   - P 2

b)   P 1   + P 2   + P 3   + P 4

c)   P 1   · P 2

d) P 2   / P 4

e)   P 1   / (P 2   - P 3).

Sol:

a)   -3 + 11 · i

b)   35 + 17 · i

c)   78,1 + 53,8 · i

d)   0,45-0,15 · i

e)   0,57-0,06 · i

 

Complex conjugat

El conjugat d'un nombre complex representa la seva imatge reflectida respecte a l'eix real.

Per obtenir-lo només cal canviar el signe a la part imaginari a si està en forma rectangular o binòmica, o bé, canviar de signe l'angle si be donat en forma polar.

Es representa amb un asterisc:

Complex

Forma binòmica   (Rectangulars):   P = a + b · i

Forma polar   (Polars):   P =   r   |   a   _

Complex conjugat

Forma bin òmica   (Rectangulars):   P * = a - b · i

Forma polar   (Polars):   P * =   r   | - a   _

 

Exemple:

Expressa el conjugat de Z = 3 + 4 · i en forma rectangular i en forma polar:

Z = 3 - 4 · i Z = 5 |   -53,13 º

Nota important

Atès que   Tan   a   = Tan a   +180 º), hi ha dos ànguls possibles per a cada valor de la tangent. Això provoca que en aplicar les fórmules de pas de rectangulars a polars:

s'hagi de tenir en compte el signe de la part real   a   i sumar a l'angle resultant   a   180 º quan aquesta sigui negativa per obtenir l'angle correcte.

Exemple:

Passar a coordenades polars el nombre complex -20 + 12 · i.

 

 

El resultat és lògic tenint en compte que l'extrem del vector ha de ser al semiplà negatiu de les x, ja que la part real era negativa. Per comprovar només cal dibuixar gràficament tots dos.

En el cas d'utilitzar l'eina de pas de rectangulars a polars de la calculadora el resultat surt correcte directament.