Corrent altern

Valors fonamentals

Representació vectorial

Operacions amb vectors

Circuits RL

Circuit capacitiu RC

Circuits RLC

Potència en corrent altern

Ressonància

 

Corrent altern

Segons la variació de corrent al llarg del temps, es poden trobar dos tipus fonamentals de senyals: contínues i variables. D’entre els senyals variables (polsants, triangulars, rectangulars, etc.), La més important és l’altern sinusoïdal.

CONTÍNUA:

Alterna sinusoïdal:

Manté constant el seu valor al llarg del temps.

És un senyal periòdic, alterna amb trams simètrics positius i negatius respecte a l’eix de temps. que segueix la forma de la funció si.

Producció de corrent altern (sinusoïdal)

Si fem girar una espira a l’interior d’un camp magnètic, s’induirà a cada conductor una força electromotriu induïda de valor:

i =   b   · L · v · sin   a

Sent   a   l’angle entre la inducció magnètica i la velocitat o sentit del moviment que, com es veu a la figura, varia de 0 º a 360 º a cada volta del conductor.

 

Si l’espira està formada per un conductor d’anada i un altre de tornada, en l’espira s’indueix una fem:

i = 2 ·   b   · L · v · sin   a

Si la bobina té N i   espires:

i = 2 · N i   ·   b   · L · v · sin   a

Si mantenim constant la inducció del camp i la velocitat de gir, sent-ho també el nombre de conductors i la longitud dels mateixos, tindrem:

2 · N i   ·   b   · L · v = i max   à   Constant

i = i max   · Sin   a

Com pot deduir de la fórmula la fem resultant tindrà forma sinusoïdal.

Si a més expressem l’angle girat en funció de la velocitat angular:

w   =   a   / T   à   a   =   w   · T

e (t) = i max   · Sin   w   · T

On   w ·T   representa l’angle girat en radians, sent   w   la velocitat angular en rad / s.

Definició matemàtica

L’ona sinusoïdal té una expressió matemàtica:

V (t) = V MAX   · Sin   w   · T

i la seva representació gràfica correspon a la projecció sobre l’eix vertical d’un vector   V MAX   que gira amb velocitat angular   w.

 

Valors fonamentals

VALOR INSTANTANI:

 

VELOCITAT ANGULAR:

En   rad / s. 
(També anomenada
   pulsació).

Angle girat:

En   radiants 
(La calculadora en RAD).

PERÍODE:

En   segons 
(Temps que dura un cicle).

FREQÜÈNCIA:

(Nombre de cicles en un segon).

 

En   hertzs   (Hz) o   cicles / segon.

VALOR MÀXIM:

Valor màxim, de bec o de cresta.

VALOR PIC A PIC:

Valor doble del valor màxim.

VALOR MITJÀ:

Mitjana algebraica d’un semiperíode. (La mitjana d’un període és zero).

VALOR EFICAÇ:

Mitjana quadràtica d’un període.

Representa el valor que aplicat de manera contínua sobre una resistència dissipa en ella la mateixa potència.

D’ara endavant, les lletres   majúscules   representaran els   valors eficaços   dels senyals sinusoïdals i les   minúscules  els   valors instantanis.

En donar valors al temps, l’angle girat   w   · T   quedarà expressat en radians, de manera que les funcions trigonomètriques s’han de calcular amb la calculadora en mode   RAD.

 

Representació vectorial

Quan fem girar dos vectors a la mateixa velocitat angular, la posició relativa de les seves ones depèn de la posició inicial dels vectors (desfasament).

 

DIAGRAMA DE FRESNEL

Diagrama cartesià

La tensió està en fase amb la intensitat.

La tensió està avançada 90 º a la intensitat.

La tensió està endarrerida 90 º a la intensitat.

La tensió està endarrerida un angle de 30 º a la intensitat.

***   QUAN EL DIAGRAMA VECTORIAL S’USA DE FORMA AÏLLADA S’UTILITZEN ELS   VALORS EFICAÇOS   ***

 

Operacions amb vectors

Per treballar matemàticament amb vectors utilitzarem els nombres complexos, que representen un punt del pla respecte a uns eixos de coordenades que es creuen perpendicularment en un punt (origen).


a   = Part real 
b   = Part imaginària 

r   = Mòdul 
a   = Angle

 

 

Forma binòmica   (Rectangulars)

P = a + b · i

Forma polar   (Polars)

P =   r   |   a    

 


Pas de rectangulars a polars


Pas de polars a rectangulars

Coneguts aib:

Coneguts   r   i   a   :

[A] [R ®   P] [b] [=]   "Surt   r   "   [X «   I]   "Surt   a   "

[R   ] [P ®   R] [a   ] [=]   "Surt a"   [X «   I]   "Surt b"

Operacions amb nombres complexos

La suma i la resta   es realitzen en forma binòmica:

[A + b · i] + [a ‘+ b’ · i] = [(a + a ‘) + (b + b’) · i]

Suma de parts reals + suma de parts imaginàries.

[A + b · i] - [a ‘+ b’ · i] = [(a - a ‘) + (b - b’) · i]

Resta de parts reals + Resta de parts imaginàries.

El producte i el quocient   es realitzen en forma polar:

r   |   a   '   r      |   a      = (R   '   r   ’)   |   a   + A   

Producte de mòduls i suma de ángulos.

r   |   a   ¸   r      |   a      = (R   ¸   r   ’)   |   a   - A   

Quocient de mòduls i resta de ángulos.

Exemple1:

Calcula: P = [2 + 6 · i] + ([4 +4 · i] x [6 - 2 · i]).

P = [2 + 6 · i] + ([5,657   | 45 º]   '   [6,324   | -18,43 º]) = [2 + 6 · i] + ([35,77   | 26,57 º]) = [2 + 6 · i] + [32 + 16 · i] = [34 + 22 · i]

Exemple2:

Donats els nombres complexos: P 1   = 6 + 8 · i; P 2   = 9 - 3 · i; P 3   = 12 · i; P 4   = 20. Calcula:

a)   P 1   - P 2

b)   P 1   + P 2   + P 3   + P 4

c)   P 1   · P 2

d) P 2   / P 4

e)   P 1   / (P 2   - P 3).

Sol:

a)   -3 + 11 · i

b)   35 + 17 · i

c)   78,1 + 53,8 · i

d)   0,45-0,15 · i

e)   0,57-0,06 · i

Complexos conjugats

El conjugat d’un nombre complex representa la seva imatge reflectida respecte a l’eix real.

Per obtenir-lo només cal canviar el signe a la part imaginària si està en forma rectangular o binòmica, o bé, canviar de signe l’angle si be donat en forma polar.

Es representa amb un asterisc:

Complex

Forma binòmica   (Rectangulars):   P = a + b · i

Forma polar   (Polars):   P =   r   |   a   _

Complex conjugat

Forma binòmica   (Rectangulars):   P * = a - b · i

Forma polar   (Polars):   P * =   r   | - A   _

Exemple:

Expressa el conjugat de Z = 3 + 4 · i en forma rectangular i en forma polar:

Z = 3 - 4 · i Z = 5 |   -53,13 º

Nota

Atès que   Tan   a   = Tan (a   +180 º), hi ha dos ànguls possibles per a cada valor de la tangent. Això provoca que en aplicar les fórmules de pas de rectangulars a polars:

s’hagi de tenir en compte el signe de la part real   a   i sumar a l’angle resultant   a   180 º quan aquesta sigui negativa per obtenir l’angle correcte.

Exemple:

Passar a coordenades polars el nombre complex -20 + 12 · i.

El resultat és lògic tenint en compte que l’extrem del vector ha de ser al semiplà negatiu de les   x, ja que la part real era negativa. Per comprovar-només cal dibuixar gràficament tots dos.

En el cas d’utilitzar l’eina de pas de rectangulars a polars de la calculadora el resultat surt correcte directament.

 

Circuits RL

Circuit purament resistiu R

En circular un corrent altern per una resistència dóna lloc a una tensió alterna en els seus extrems.

LA TENSIÓ I EL CORRENT QUE CIRCULA PER UNA RESISTÈNCIA ESTAN   EN FASE

VALOR EFICAÇ

VALOR COMPLEX

VALOR INSTANTANI

IMPEDÀNCIA

I

I | 0 º

Z = R

V

V | 0 º

Z | 0 º   = R

 


Impedància d’una resistència

Es diu IMPEDÀNCIA (Z) d’un element qualsevol a l’oposició que ofereix al pas d’un corrent altern.

En el cas d’un resistor la impedància es diu   resistència:

Z = R   En forma complexa:   Z | 0 º   = R

Llei d’Ohm generalitzada a corrent altern

V = Z · I   Þ   en el cas d’una resistència   Þ   V = R · I

En forma complexa:   V | 0 º   = Z | 0 º   · I | 0 º

 

Exemple:

Calcula i indica en forma complexa la tensió, la impedància i la intensitat del següent circuit.

El valor complex de la tensió serà:

El valor de la impedància serà: R = 10 |   0 º

Per la Llei d’Ohm la intensitat serà:

Circuit purament inductiu L

En circular un corrent altern per una bobina dóna lloc a una tensió alterna en els seus extrems.

LA TENSIÓ EXTREMS D’UNA BOBINA ESTÀ   AVANÇADA 90 º   RESPECTE A LA INTENSITAT QUE CIRCULA PER ELLA

VALOR EFICAÇ

VALOR COMPLEX

VALOR INSTANTANI

IMPEDÀNCIA

I

I | 0 º

Z = x L   =   w   · L

V

V | 90 º

Z | 90 º   = (W   · L) · i

 


Impedància d’una bobina

La IMPEDÀNCIA d’una bobina es diu   reactància inductiva   o   inductància:

Z = x L   =   w   · L   En forma complexa:   Z | 90 º   =   w   · L · i

Llei d’Ohm generalitzada a corrent altern

V = Z · I   Þ   en el cas d’una bobina   Þ   V = X L   · I

En forma complexa:   V | 90 º   = Z | 90 º   · I | 0 º

Circuit inductiu RL

En circular un corrent altern per una resistència i una bobina en sèrie dóna lloc a una tensió alterna en extrems del circuit, suma vectorial de la tensió en cada element.

LA TENSIÓ EXTREMS D’UN CIRCUIT   RL   ESTÀ   AVANÇADA   j   º   RESPECTE A LA INTENSITAT QUECIRCULA PER ELL, SENT 0 º <   j   <90 º

 

VALOR EFICAÇ

VALOR COMPLEX

VALOR INSTANTANI

IMPEDÀNCIA

I

I | 0 º

V

V | j   º

Z | j   º   = R +   w   · L · i

 


Impedància d’un circuit RL

En el cas d’un circuit RL la impedància total té un valor que respon a la hipotenusa d’un triangle rectangle que té per catets la resistència i la inductància:

En forma complexa:

Z | j   º   = R + w   · L · i

Llei d’Ohm generalitzada a corrent altern

V = Z · I   Þ   en el cas d’un circuit RL   Þ   

En forma complexa:   V | j   º   = Z | j   º   · I | 0 º

 

Circuits RC

Circuit purament capacitiu C

En circular un corrent altern per un condensador dóna lloc a una tensió alterna en els seus extrems.

LA TENSIÓ EXTREMS D’UN CONDENSADOR ESTÀ   ENDARRERIDA 90 º   RESPECTE A LA INTENSITAT QUE CIRCULA PEL

VALOR EFICAÇ

VALOR COMPLEX

VALOR INSTANTANI

IMPEDÀNCIA

I

I | 0 º

Z = x C   = 1 / w   · C

V

V | -90 º

Z | -90 º   = - (1 / w   · C) · i

 

Impedància d’un condensador

La IMPEDÀNCIA d’un condensador es diu   reactància capacitiva   o   capacitància:

Z = x C   = 1 / w   · C   En forma complexa:   Z | -90 º   = - (1 / w   · C) · i

Llei d’Ohm generalitzada a corrent altern

V = Z · I   Þ   en el cas d’un condensador   Þ   V = (1 / w   · C) · I

En forma complexa:   V | -90 º   = Z | -90 º   · I | 0 º

 

Circuit capacitiu RC

En circular un corrent altern per una resistència i un condensador en sèrie dóna lloc a una tensió alterna en extrems del circuit, suma vectorial de la tensió en cada element.

LA TENSIÓ EXTREMS D’UN CIRCUIT   RC   ESTÀ   ENDARRERIDA - j   º   RESPECTE A LA INTENSITAT QUE CIRCULA PER ELL, SENT -90 º <- j   <0 º

 

VALOR EFICAÇ

VALOR COMPLEX

VALOR INSTANTANI

IMPEDÀNCIA

I

I | 0 º

V

V | - j   º

Z | - j   º   = R - (1 / w   · C) · i

 


Impedància d’un circuit RC

En el cas d’un circuit RC la impedància total té un valor que respon a la hipotenusa d’un triangle rectangle que té per catets la resistència i la capacitància:

En forma complexa:

Z | - j   º   = R-(1 / w · C) · i

Llei d’Ohm generalitzada a corrent altern

V = Z · I   Þ   en el cas d’un circuit RC   Þ   

En forma complexa:   V | - j   º   = Z | - j   º   · I | 0 º

 

Circuits RLC

En circular un corrent altern per una resistència, una bobina i un condensador en sèrie dóna lloc a una tensió alterna en extrems del circuit, suma vectorial de la tensió en cada element.

LA TENSIÓ EXTREMS D’UN CIRCUIT   RLC   ESTÀ   DEFASADA   j   º   RESPECTE A LA INTENSITAT QUE CIRCULA PER ELL, SENT -90 º <   j   <90 º

 

VALOR EFICAÇ

VALOR COMPLEX

VALOR INSTANTANI

IMPEDÀNCIA

I

I | 0 º

V

V | j   º

Z | j   º   = R + [w   · L-(1 / w   · C)] · i

 

Impedància d’un circuit RLC

En el cas d’un circuit RLC la impedància total té un valor que respon a la hipotenusa d’un triangle rectangle que té per catets la resistència i la reactància (inductància menys capacitancia):

En forma complexa:

Z | j   º   = R + [w   · L-(1 / w   · C)] · i

L’angle serà positiu si predomina la inductància sobre la capacitància i negatiu si succeeix al contrari.

Llei d’Ohm generalitzada a corrent altern

V = Z · I   Þ   en un circuit RLC   Þ   

En forma complexa:   V | j   º   = Z | j   º   · I | 0 º

 

Potència en corrent altern

La impedància com qualsevol nombre complex es pot donar per el seu mòdul i angle o bé per la seva resistència (part real) i reactància (part imaginària):

TRIANGLE d’impedàncies

MÒDUL

ANGLE

RESISTÈNCIA

REACTÀNCIA

La reactància és la combinació de la inductància i la capacitància:

En circular un corrent altern per una impedància genera tres tipus de potència:

Aparent:    ---   Activa:    ---   Reactiva:   

La potència pot descompondre en l’anomenat   triangle de potències:

TRIANGLE DE POTÈNCIES

POTÈNCIA APARENT

(VA)

POTÈNCIA ACTIVA

(W)

POTÈNCIA REACTIVA

(Var)

 

POTÈNCIA APARENT 
Voltioamperios

És la potència total desenvolupada en la impedància, combinació de les altres dues, i per a ella deu estar dimensionada la instal · lació.

POTÈNCIA ACTIVA 
Watts

Representa la potència realment aprofitada en la impedància.

POTÈNCIA REACTIVA 
Voltioamperios reactius

És absorbida durant ¼ de període i retornada a la xarxa en el ¼ de període següent pel receptor.

Potència complexa

En forma complexa la potència es pot calcular com a producte complex de la tensió per la conjugada de la intensitat  (Mateix mòdul i angle canviat de signe).

 

Factor de potència

En corrent altern la potència realment desenvolupada en el receptor és la potència activa:

El producte V · I es veu afectat per un factor que pot variar entre zero i un, que rep el nom de   factor de potència   i és el cosinus de l’angle que formen la intensitat i la tensió.

0   £   Fdp   £   1

La instal · lació òptima és aquella que té factor de potència unitat (màxima potència per a igual tensió i intensitat):

j   = 0 º   Þ   cos   j   = 1

D’aquesta manera la instal·lació no necessita ser sobredimensionada.

 

Ressonància

Ressonància del circuit sèrie

Atès que la inductància depèn directament de la freqüència mentre la capacitància ho fa inversament, en augmentar la freqüència, creixerà la primera i es reduirà la segona:

Inductància: Augmenta en augmentar   f.

Capacitància: Disminueix en augmentar   f.

Per a una freqüència zero (corrent continu) la inductància val zero (curtcircuit) i la capacitància infinit (circuit obert).

 

En un circuit sèrie RLC, hi haurà una certa freqüència a la qual s’igualen i lin (per ser oposades) la inductància i la capacitància. A aquesta freqüència la impedància del circuit serà mínima i d’un valor igual a la resistència del mateix:

A aquesta freqüència se li crida freqüència de ressonància:

Quan un circuit sèrie entra en ressonància, la intensitat només està limitada per la resistència i pot prendre un valor molt alt.

Tot i que les tensions a la bobina i el condensador s’igualen i s’anul · len, segueixen existint i poden tenir valors molt alts i perillosos.

Exemple:

Calcula la intensitat i la tensió en cada element en un circuit sèrie format per una resistència de 1 W   , Una bobina d’1 H i un condensador de 100   m   F, quan està alimentat a 220 V i entra en ressonància.

Encara que l’alimentació és de 220V a la bobina i en el condensador apareixen 22.000V.

Ressonància del circuit paral · lel

Atès que la inductància depèn directament de la freqüència i la capacitància inversament:

Inductància: Augmenta amb   f.

Capacitància: Disminueix amb   f.

En un circuit paral · lel RLC, hi haurà una certa freqüència a la qual s’igualen la inductància i la capacitància.

A aquesta freqüència la intensitat que circula pel condensador és igual a la que circula per la bobina, però oposada (defasada 180 º), pel que ambdues s’anul · len fent l’efecte que l’única intensitat que circula és la que passa a través de la resistència.

A aquesta freqüència se li crida freqüència de ressonància:

Quan en variar la freqüència un circuit paral · lel entra en ressonància, la seva impedància es fa màxima, i la intensitat que surt a l’exterior és la que passa per la resistència. No obstant això, tot i que la intensitat que circula pel condensador s’anul · la amb la que passa per la bobina, aquestes intensitats existeixen i poden ser molt altes i perilloses.

Exemple:

Calcula la intensitat total i la intensitat en cada element en un circuit paral · lel format per una resistència de 100 W   , Una bobina d’1 mH i un condensador de 1000   m   F, quan està alimentat a 220 V i entra en ressonància.