ANÀLISIS DE CIRCUITS

 

Associació d'elements

Potència elèctrica, energia, llei de Joule

Lleis de Kirchhoff

Teorema de Thévenin

Teorema de Norton

Teorema de superposició

Associació d'elements

 

Associació en sèrie

S'uneix la "sortida" del primer element a la "entrada" del següent, i així successivament.

  • La intensitat és la mateixa en tots els elements.
  • La suma de tensions parcials és igual a la tensió total.
  • La resistència total és igual a la suma de les resistències parcials.

 

Exemple:

1. Calculeu la resistència R del circuit següent perquè la intensitat sigui de 1A.

 

Associació en paral·lel

S'uneixen directament els extrems d'un costat (entrades) i d'altra banda els altres extrems (sortides).

 

  • Tots els elements tenen la mateixa tensió.
  • El corrent total és igual a la suma dels corrents parcials.
  • La resistència total és sempre menor que la més petita.

 

Exemple:

1. Calculeu la resistència equivalent d'associar en paral·lel tres resistències de 4 W   , 5 W   i 20 W.

 

Associació mixta

Té lloc quan en un circuit hi ha uns resistors associats en sèrie i altres resistors associats en paral·lel. En aquest cas el circuit es va reduint pas a pas.

 

Exemple:

Calcula la intensitat lliurada per la pila en el següent circuit:

 

Associació en estrella i en triangle

Connexió en estrella

Cadascuna de les tres resistències té un extrem connectat a un de tres punts diferents del circuit.

L'altre extrem de cada resistència està unit a un punt comú.

 

Connexió en triangle

Cada resistència està connectada entre dos de tres punts diferents del circuit.

La sortida de la primera resistència s'uneix a l'entrada de la segona, la sortida de la segona a l'entrada de la tercera i la sortida de la tercera a l'entrada de la primera

 

PAS D'ESTRELLA A TRIANGLE

 

PAS DE TRIANGLE A ESTRELLA

 

Exemple:

Calcula la intensitat cedida per la pila al circuit de la figura:

 

Sol: 2 A.

Potència elèctrica, energia, llei de Joule

 

Potència i energia elèctrica

La   potència elèctrica   generada o consumida en qualsevol element d'un circuit és igual al producte de la tensió pel corrent:

Mitjançant l'equació anterior i la llei d'Ohm es pot expressar la potència de diverses formes:

La unitat de potència és el watt (W):   1W = 1V x 1A

No obstant això, en els motors, també s'expressa en cavalls de vapor (CV):  1CV = 736W

 

La   energia elèctrica   cedida per un generador o rebuda per un receptor depèn de la potència i del temps:

La unitat d'energia elèctrica és el juliol (J):

1J = 1W x 1s

Sovint resulta poc pràctic, emprant-se el quilowatt hora (kWh):

1 kWh = 3,6 x 106 J

 

Efecte Joule

El corrent elèctric que travessa un material produeix un escalfament o despreniment d'energia calorífica proporcional a la intensitat, a la resistència del material i al mateix temps que circula:

La unitat de calor és la caloria: 1J = 0,24 calç

La quantitat de calor necessària per elevar la temperatura d'una substància depèn directament de la massa, de la calor específica i de l'increment de temperatura:

S'entén per calor específica (c) d'una substància la quantitat de calor necessària per elevar en 1º C la quantitat d'un gram de la substància de què es tracti.

 

CALOR ESPECÍFIC

Substància

Cal/g ºC

Aigua

Oli

Alumini

Coure

1

0,44

0,22

0,09

Rendiment

El rendiment en un sistema elèctric és la relació entre la potència útil i la potència total:

Sol donar-se en tant per cent:

 

Rendiment i pèrdues d'un circuit elèctric elemental

Si considerem un circuit elèctric format per un generador amb resistència interna, uns conductors amb resistència pròpia i una resistència de càrrega, la potència útil serà només aquella que es desenvolupa en la resistència de càrrega, mentre que la dissipada en forma de calor (efecte joule ) en la resistència interna del generador i dels conductors serà potència perduda:

El rendiment d'aquest circuit serà:

 

Transferència de màxima potència

Si es vol aconseguir la màxima potència a la càrrega encara que sigui a costa d'un baix rendiment (altes pèrdues) es pot demostrar que s'aconsegueix quan:

En aquest cas el rendiment serà del 50%.

Caiguda de tensió i secció d'una línia

La caiguda de tensió que es produeix en una línia ve donada per la llei d'Ohm i coneguts o establerts la resta de les dades, podríem calcular la secció de conductor necessària:

Se sol donar la caiguda de tensió en% i la longitud de la línia per la distància amb el que s'haurà de considerar l'anada i la tornada dels conductors

 

Lleis de Kirchhoff

Convenis de signes

Utilitzarem el sentit tradicional de corrent (no electrònic).

En les piles l'extrem positiu és l'indicat (pal llarg).

En les resistències és més positiu l'extrem pel qual entra el corrent.

 

Primera llei de Kirchhoff (Llei de nusos)

En un NUS (unió de tres o més conductors) la suma de corrents entrants és igual a la suma de corrents sortints, o bé,   la suma de corrents entrants menys les sortints és zero:

En el circuit de la figura:   

 

Segona llei de Kirchhoff (Llei de malles)

La tensió d'un punt A respecte a un altre B és la suma de tensions que apunten a A menys les que apunten a B al llarg de qualsevol camí tancat entre ambdós.

 

Podem considerar   A   i   B   com el mateix punt (tensió entre   A   i   A). La tensió resultant ha de ser nul · la:   La suma de tensions en un sentit menys les tensions en sentit contrari al llarg d'una malla tancada és nul · la.

Teorema de les malles

 

Malles, branques i nusos

MALLA: Qualsevol camí tancat que pot seguir la intensitat.

MALLA DE CONTORN MÍNIM: Malla que no conté altres al seu interior.

NUS: Unió de tres o més conductors.

BRANCA: Circuit comprès entre dos nusos consecutius (sense altres nusos al mig).

INTENSITATS DE MALLA: A cada malla li assignem una intensitat nomenada amb la lletra i minúscula i un subíndex, donant-li el sentit de circulació   horari   (El que definiria l'avanç de les agulles d'un rellotge col·locat al centre de la malla).

INTENSITATS DE BRANCA: A cada branca circularà una intensitat que definirem amb un sentit arbitrari i anomenarem amb una R majúscula i un subíndex.

 

Equacions de malles

Un cop establerta una intensitat de malla en cada malla del circuit amb sentit de circulació horari, es procedeix a elaborar tantes equacions com malles segons el següent procediment:

 

 

MALLA   1

MALLA   2

MALLA   3

 

Suma de piles

MALLA 1

- R11·i1

+ R12·i2

+ R13·i3

=

VP (Malla 1)

MALLA 2

+ R21·i1

- R22·i2

+ R23·i3

=

VP (Malla 2)

MALLA 3

+ R31·i1

+ R32·i2

- R33·i3

=

VP (Malla 3)

 

CONSIDERACIONS:

  • Es considera  RXY a la suma de les resistències comunes a la malla indicada per la fila (MALLA X) i la malla indicada per la columna (MALLA I).
  • Els termes que contenen les resistències comunes d'una malla amb si mateixa (diagonal: 11, 22 i 33) són negatius, la resta positius.
  • Per sumar les tensions de les piles d'una malla es recorre la malla en sentit horari (sentit donat a la intensitat d'aquesta malla) i es consideren positives en entrar pel pol positiu   i negatives si s'entra pel pol negatiu.

L'aplicació següent et permet solucionar les equacions per a circuits de dos i tres malles. Heu d'incloure el signe (-) per als nombres negatius i utilitzar el punt (.) Com a separador decimal, no la coma.

Resolució de circuits amb diverses malles

Vegem un exemple.

Es plantegen les equacions de malles:

-(10+20)·i1+20·i2=8-620 ·i1-(20+30)·i2=9-8-30·i1+20·i2=220·i1-50·i2=1

 

Posteriorment es resolen les equacions per algun mètode matemàtic: substitució, reducció, igualació, Cramer, etc.

(X2)

 

-60·i1+40·i2=4

 

 

(X3)

 

60·i1-150·i2=3

 

SUMANT TERME A TERME:

 

 

-110·i2=7

 

 

i2=7/(-110)=-0,06363A

60· i1-150·i2=360·i1-150·(-0,06363)=3

i1=-0,109075A

De les   intensitats de malla   es poden deduir les   intensitats de branca:

I1=i1

I2=i1-i2

I3=i2

I1=-0,109075A

I2=(- 0,109075)-(-0,06363)=-0,04545A

I3=-0,06363A

 

Teorema de Thévenin

La intensitat que circularà per una resistència aplicada entre dos punts d'un circuit és la mateixa que al endollar al circuit simplificat  format per:

  • Una pila de tensió: VTh=VAB abans de connectar-la. 
    Es treu la resistència a estudiar R, entre A i B deixant aquesta branca oberta i es calcula la tensió entre A i B.
  • Un resistor de resistència: RTh=RAB abans de connectar-la. 
    Es treu la resistència R a estudiar entre A i B deixant aquesta branca oberta, es curtcircuiten les piles ("es treuen") i es calcula la resistència equivalent entre A i B.

Exemple:

Es vol conèixer la potència que dissiparà una resistència R de 10 W, 20 W o 40 W, Connectada entre els punts A i B del circuit següent:

-16·I=4 
i=-4/16=-0,25A 
VTh=VAB=Vab=4+8·i 
VTh=4+8·(-0,25)=4-2=2V

RTh=RAB=8+8//8=8+4=12W

I=VTh/(RTh+R)

R=10W Þ I=2/(10+12)=0,0909A. 
R=20W Þ I=2/(12+20)=0,0625A. 
R=40W Þ I=2/(12+40)=0,0385A.

PR=I2·R=0,09092·10=0,083W. 
PR=I2·R=0,06252·20=0,078W. 
PR=I2·R=0,03852·40=0,059W.

 

Teorema de Norton

És un mètode de resolució de circuits que permet substituir un circuit complex aplicat entre dos punts A i B per un circuit més senzill compost per una font d'intensitat amb una resistència en paral·lel.

 

INorton

És el corrent que circularia A a B en posar-los en curtcircuit.

RNorton

És la resistència equivalent entre A i B curtcircuitant les fonts de tensió i obrint les fonts d'intensitat.

 

Exemple:

Determina el circuit equivalent de Norton per al circuit següent:

Intensitat de Norton:

Resistència de Norton:

Circuit equivalent de Norton:

 

Teorema de superposició

Permet calcular la tensió o el corrent en cada element d'un circuit com superposició dels efectes que produeix en el circuit cada generador.